Родился в Москве 7 сентября 1922 года в артистической семье. Музыкальное образование получил в Московской консерватории, где занимался по классу композиции у Ан. Александрова. В 1949 году он заканчивает консерваторию, представив в качестве дипломной экзаменационной работы оперу «Каменный цветок», написанную по мотивам уральских сказов П. Бажова «Малахитовая шкатулка». Постановка оперы была осуществлена в 1950 году на сцене Московского театра им. К. С. Станиславского и В. И. Немировича- Данченко.
Молчанов много внимания уделял сочинению театральной музыки. Он — автор музыкального оформления ряда спектаклей московских театров: «Голос Америки», «Флаг адмирала» и «Закон Ликурга» в Центральном театре Советской Армии, «Грибоедов» в Драматическом театре им. К. С. Станиславского, «Студент 3-го курса» и «Хитроумная влюбленная» в театре им. Моссовета и других спектаклей.
